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Démonstration avec 2 diamètres d'un cercle? 2
- Time:
- Question posée (Il y a 11 mois, 3 semaines)
- Catégorie:
- Science & Mathématique / Mathématiques
- démonstration, cercle, diamètres, parallèles, côtés
On sait que AB et CD sont 2 diamètres d'un cercle de centre O. Démontrer que AC est parallèle à BD.
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Réponse d'un collaborateur(2):
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Meilleure Réponse!
- Time:
- Réponse par Charliebrown13 (Il y a 11 mois, 2 semaines)
Nous avons un cercle de centre O, de rayon [OA]. De plus, nous avons deux diamètres : [AB] et [CD]. Dans le sens des aiguilles d'une horloge nous avons donc les points A, D, B et C sur le cercle. Relions les points D et B ainsi que les points A et C. Tout d'un coup, nous nous retrouvons avec les triangles congrus : Triangle AOC et Triangles DOB. On sait d'or est déjà qu'ils sont isocèles. Les côtés AO et OB sont de mêmes longueurs car ils sont rayons du cercle. Il en va de même pour les côtés CO et OD. Les angles AOC et DOB sont congrus car ils sont opposés par le sommet. S'ils sont isocèles, ils sont aussi isoangles. Or, les angles OAC, OCA, ODB et OBD sont de même amplitude. Vu que sont des triangles congrus, les côtés BD et AC sont de même longueur.
Maintenant, en reliant les points A et D ainsi que B et C, nous avons deux autres triangles isocèles : AOD et BOC. Nous avond déjà évoqué comme quoi AO et OD ainsi que OB et CO sont de même grandeur vu qu'ils sont rayons du cercle. Les angles AOD et COB sont de même grandeur car ils sont opposés par le sommet. Si les triangles sont isocèles, ils sont isoangles. Or, les angles OAD, ODA, OBC et OCB sont congrus. Aussi, AD et BC sont isométriques. Nous avons face à nous un parallélogramme ADBC. Or, les côtés DB et AC sont parallèles. Si l'on inverse les lettres du segment DC ou AB, on peut arriver à la même conclusion.
Cercle de centre O et parallélogramme ADBC
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- Time:
- Réponse par Charliebrown13 (Il y a 11 mois, 1 semaine)
On peut rajouter encore quelques informations. Dans les triangles AOC et DOB, appelons les angles OAC, OCA, ODB et OBD comme étant Alpha. Dans les triangles AOD et COB, appelons les angles OAD, ODA, OCB et OBC comme étant Bêta. Dans chaque coin du quadrilatère ACBD, nous avons un angle Alpha et un angle bêta. De plus, on sait que la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est de 360°. Aussi, la somme des angles de ce quadrilatère est ainsi de 4Alpha + 4Bêta.
Si l'on continue ce raisonnement,
4Alpha + 4Bêta = 360°
4 (Alpha + Bêta) = 4 (90°)
Alpha + Bêta = 90°
Dans chaque coin de notre quadrilatère, nous aurons donc un angle droit. On fait donc face à un rectangle qui est une catégorie plus précise de parallélogramme.
Voilà un bon complément d'information.
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